Формулы: законы распределения случайных величин

В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей, описывающие законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин: биномиальный, Пуассона, экспоненциальный, равномерный, нормальный.

Каталог формул по теории вероятности онлайн

Дискретные случайные величины

Пусть дискретная случайная величина $X$ - количество "успехов" в последовательности из $n$ независимых случайных экспериментов, таких что вероятность "успеха" в каждом из них равна $p$ ("неуспеха" - $q=1-p$).

Закон распределения $X$ имеет вид:

$x_k$ 0 1 . k . n $p_k$ $q^n$ $n\cdot p \cdot q^$ $C_n^k \cdot p^k \cdot q^$ $p^n$

Здесь вероятности находятся по формуле Бернулли:

$$ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^ = C_n^k \cdot p^k \cdot q^, k=0,1,2. n. $$

Числовые характеристики биномиального распределения:

Примеры многоугольников распределения для $n=5$ и различных вероятностей:

Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

При условии $p\to 0$, $n \to \infty$, $np \to \lambda = const$ закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность $p$ события $A$ в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.

Ряд распределения по закону Пуассона имеет вид:

$x_k$ 0 1 . k . $p_k$ $e^$ $\lambda e^$ . $\frac\cdot e^$ .

Вероятности вычисляются по формуле Пуассона:

Числовые характеристики для распределения Пуассона:

Разные многоугольники распределения при $\lambda = 1; 4; 10$.

Пусть происходит серия независимых испытаний, в каждом из которых событие может появится с одной и той же вероятностью $p$. Тогда случайная величина $X$ - количество испытаний до первого появления события, имеет геометрическое распределение вероятностей.

Формула для вероятностей:

$$ P(X=k) = q^k \cdot p, k=0,1,2. n. $$

Ряд распределения геометрического закона:

$x_k$ 0 1 2 . k . $p_k$ $p$ $q\cdot p$ $q^2 \cdot p$ . $q^k \cdot p$ .

Из урны, в которой находятся $N$ шаров ($K$ белых и $N-K$ чёрных шаров), наудачу и без возвращения вынимают $n$ шаров ($n \le N$). Найти закон распределения случайной величины $X$ - равной числу белых шаров среди выбранных.

Случайная величина $X$ может принимать целые значения от $0$ до $K$ (если $n \lt K$, то до $n$). Вероятности вычисляются по формуле: $$ P(X=k)=\frac, \quad 0\le k \le K. $$

$$M(X)=\frac\cdot n, \quad D(X)=\frac\cdot n \cdot \frac \cdot \frac.$$

Непрерывные случайные величины

Экспоненциальное или показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события.

Плотность распределения величины $X$(везде $ \lambda \gt 0)$:

Функция распределения величины $X$:

Числовые характеристики можно найти по формулам:

Плотность распределения при различных значениях $\lambda \gt 0$:

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчётов (например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке), в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчинённых заданному распределению.

Плотность распределения на отрезке $(a;b)$:

$$ f(x)= \left\< \begin 0,\ x \le a\\ \frac ,\ a \lt x \le b, \\ 0,\ x \gt b, \\ \end \right. $$

$$ F(x)= \left\< \begin 0,\ x \le a\\ \frac ,\ a \lt x \le b, \\ 1,\ x \gt b, \\ \end \right. $$

Числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины:

График плотности вероятностей:

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, – распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике.

Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.

Плотность распределения нормальной случайной величины $X$ имеет вид:

При $a=0$ и $\sigma=1$ эта функция принимает вид:

Числовые характеристики для нормального распределения:

Пример графика плотности распределения для различных значений среднего и СКО:

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами $a=0$ и $\sigma=1$ называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая - стандартной или нормированной.

Функция Лапласа определяется как:

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины $X$ в заданный интервал $(\alpha, \beta)$:

$$ P(\alpha \lt X \lt \beta) = \Phi\left( \frac \right) - \Phi\left( \frac \right). $$

Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины $X$ на величину $\delta$ от математического ожидания (по модулю).