Лекция 24. Моделирование случайной величины с заданным законом распределения

Большей информативностью, по сравнению с такими статистическими характеристиками как математическое ожидание, дисперсия, для инженера обладает закон распределения вероятности случайной величины X . Представим, что X принимает случайные значения из некоторого диапазона. Например, X — диаметр вытачиваемой детали. Диаметр может отклоняться от запланированного идеального значения под влиянием различных факторов, которые нельзя учесть, поэтому он является случайной слабо предсказуемой величиной. Но в результате длительного наблюдения за выпускаемыми деталями можно отметить, сколько деталей из 1000 имели диаметр X1 (обозначим NX1 ), сколько деталей имели диаметр X2 (обозначим NX2 ) и так далее. В итоге можно построить гистограмму частости диаметров, откладывая для X1 величину NX1/1000 , для X2 величину NX2/1000 и так далее. (Обратите внимание, если быть точным, NX1 — это число деталей, диаметр которых не просто равен X1 , а находится в диапазоне от X1 – Δ/2 до X1 + Δ/2 , где Δ = X1 – X2 ). Важно, что сумма всех частостей будет равна 1 (суммарная площадь гистограммы неизменна). Если X меняется непрерывно, опытов проведено очень много, то в пределе N –> ∞ гистограмма превращается в график распределения вероятности случайной величины. На рис. 24.1, а показан пример гистограммы дискретного распределения, а на рис. 24.1, б показан вариант непрерывного распределения случайной величины.

Рис. 24.1. Сравнение дискретного и непрерывного законов распределения случайной величины

В нашем примере закон распределения вероятности случайной величины показывает насколько вероятно то или иное значение диаметра выпускаемых деталей. Случайной величиной является диаметр детали.

В производстве и технике часто такие законы распределения заданы по условию задачи. Наша задача сейчас состоит в том, чтобы научиться имитировать появление конкретных случайных событий согласно вероятностям такого распределения.

Метод ступенчатой аппроксимации

Так как законы распределения вероятности событий могут быть различной формы, а не только равновероятными, то необходимо уметь превращать равномерный ГСЧ в генератор случайных чисел с заданным произвольным законом распределения. На рис. 21.3 это соответствует двум первым блокам метода статистического моделирования. Для этого непрерывный закон распределения вероятности события дискретизируем, превратим в дискретный.

Обозначим: hi — высота i -го столбца, f(x) — распределение вероятности (показывает насколько вероятно некоторое событие x ). Значение hi операцией нормировки необходимо перевести в единицы вероятности появления значений x из интервала xi < x ≤ xi + 1 : Pi = hi/(h1 + h2 + … + hi + … + hn) .

Операция нормировки обеспечивает сумму вероятностей всех n событий равную 1:

На рис. 24.2 показаны графически переход от произвольного непрерывного закона распределения к дискретному ( рис. 24.2, а ), отображение получаемых вероятностей на интервал rрр[0; 1] и генерация случайных событий с использованием эталонного равномерно распределенного ГСЧ ( рис. 24.2, б ).

Рис. 24.2. Иллюстрация метода ступенчатой аппроксимации

Заметим, что внутри интервала xi < x ≤xi + 1 значение x теперь не различимо, одинаково. Метод огрубляет изначальную постановку задачи, переходя от непрерывного закона распределения к дискретному. Поэтому следует учитывать количество разбиений n из условий точности представления.

На рис. 24.3 показан фрагмент алгоритма, реализующего описанный метод. Алгоритм генерирует случайное число, равномерно распределенное от 0 до 1. Затем, сравнивая границы отрезков, расположенных на интервале от 0 до 1, представляющих собой вероятности P выпадения тех или иных случайных величин X , определяет в цикле, какое из случайных событий i в результате этого выпадает.

Рис. 24.3. Блок-схема алгоритма, реализующегометод ступенчатой аппроксимации

Заметим, что внутри интервала xi < x ≤ xi + 1 значение x теперь не различимо, одинаково. Метод огрубляет изначальную постановку задачи, переходя от непрерывного закона распределения к дискретному. Поэтому следует учитывать количество разбиений n из условий точности представления.

Метод усечения

Метод используется в случае, когда функция задана аналитически (в виде формулы). График функции вписывают в прямоугольник (см. рис. 24.4 ). На ось Y подают случайное равномерно распределенное число из ГСЧ. На ось X подают случайное равномерно распределенное число из ГСЧ. Если точка в пересечении этих двух координат лежит ниже кривой плотности вероятности, то событие X произошло, иначе нет.

Недостатком метода является то, что те точки, которые оказались выше кривой распределения плотности вероятности, отбрасываются как ненужные, и время, затраченное на их вычисление, оказывается напрасным. Метод применим только для аналитических функций плотности вероятности.

Рис. 24.4. Иллюстрация метода усечения

На рис. 24.5 показан алгоритм, реализующий метод усечения. В цикле генерируется два случайных числа из диапазона от 0 до 1. Числа масштабируются в шкалу X и Y и проверяется попадание точки со сгенерированными координатами под график заданной функции Y = f(X) . Если точка находится под графиком функции, то событие X произошло с вероятностью Y , иначе точка отбрасывается.

Рис. 24.5. Блок-схема алгоритма, реализующего метод усечения

Метод взятия обратной функции

Допустим, что нам задан интегральный закон распределения вероятности F(x) , где f(x) — функция плотности вероятности и

Тогда достаточно разыграть случайное число, равномерно распределенное в интервале от 0 до 1. Поскольку функция F тоже изменяется в данном интервале, то случайное событие x можно определить взятием обратной функции по графику или аналитически: x = F –1 (r) . Здесь r — число, генерируемое эталонным ГСЧ в интервале от 0 до 1, x1 — сгенерированная в итоге случайная величина. Графически суть метода изображена на рис. 24.6 .

Рис. 24.6. Иллюстрация метода обратной функции для генерации случайныхсобытий x, значения которых распределены непрерывно. На рисунке показаныграфики плотности вероятности и интегральной плотности вероятности от х

Данным методом особенно удобно пользоваться в случае, когда интегральный закон распределения вероятности задан аналитически и возможно аналитическое взятие обратной функции от него, как это и показано на следующем примере.

Пример 1 . Примем к рассмотрению экспоненциальный закон распределения вероятности случайных событий f(x) = λ · e –λx . Тогда интегральный закон распределения плотности вероятности имеет вид: F(x) = 1 – e –λx .

Так как r и F в данном методе предполагаются аналогичными и расположены в одном интервале, то, заменяя F на случайное число r , имеем: r = 1 – e –λx .

Выражая искомую величину x из этого выражения (то есть, обращая функцию exp()), получаем: x = –1/λ · ln(1 – r) .

Так как в статическом смысле (1 – r) и r — это одно и тоже, то x = –1/λ · ln(r) .

На рис. 24.7 показан фрагмент алгоритма, реализующего метод обратной функции для экспоненциального закона.