Замечательные линии и точки в треугольнике

Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые, и по крайней мере столь же обширны, как и анализ, геометрия в большей степени, чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться

Когда-то геометрия олицетворяла всю математику. Но математика росла и развивалась, особенно бурно в последние 200 лет. Возникли новые направления: математический анализ, теория множеств, совсем иначе стала выглядеть алгебра. Конечно, развивалась и геометрия, однако некоторые математики начали в последнее время относить её к числу второстепенных математических направлений. Но этого делать нельзя, так как геометрия – увлекательная наука, которая широко используется на практике, поэтому она нужна всем людям и должна остаться на подобающем месте в математике.

В своей работе я буду использовать следующие обозначения:

A, B, C – вершины рассматриваемого треугольника

Против углов A, B, C лежат соответственно стороны a, b, c.

ma – медиана, соединяющая вершину A треугольника с серединой стороны a.

βa – биссектриса угла A.

ha – высота треугольника, опущенная из вершины A на сторону a.

Из курса школьной геометрии мы знаем много теорем и свойств, с помощью которых мы можем решать различные задачи.

В равностороннем треугольнике ABC со стороной 6 см. проведена высота BD. Из угла A проведена биссектриса, пересекающаяся с высотой BD в точке O. Найдите BO, DO.

∆ABD – прямоугольный, так как BD – высота. AD = AD = 3 см. (по свойству стороны, лежащей напротив угла в 300. так как высота в равностороннем треугольнике является биссектрисой и медианой)

По теореме Пифагора имеем,

∆AOB равнобедренный, так как (AO – биссектриса , BD – высота равностороннего треугольника)

Тогда BO = AO = x см.

OD = AO (лежит напротив )

BD = BO + DO x + x = ;

Значит, BO = 2 см. , тогда (см. )

Эту задачу можно было бы решить намного проще, если бы знали теорему о точке пересечения медиан треугольника.

Вообще многие задачи по геометрии могли бы иметь простые решения, если бы знали теоремы о соотношениях между элементами треугольника.

Поэтому я считаю, что эта тема важна, зная теоремы о точках и линиях треугольника, мы сможем решить более сложные задачи.

Замечательные линии и точки в треугольнике.

1. Основные определения.

Напомню основных понятий, используемых в работе:

А) Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

AD = ma – медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A к стороне BC = a

Три медианы пересекаются в одной точке (всегда внутри треугольника), являющейся центром тяжести треугольника.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, а три медианы – на шесть равновеликих треугольников

. Если O – точка пересечения медиан треугольника ACD, то SACD = 3SAOD = 3SAOC =

O – центр тяжести треугольника ABC

Б) Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла от вершины до пересечения с противоположной стороной.

AD = βa – биссектриса угла А в треугольнике ABC

Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (всегда внутри треугольника), являющейся центром вписанного круга или ицентром.

Q – ицентр треугольника ABC

В) Высотой треугольника является перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону или на её продолжение. Сторона, на которую опускается перпендикуляр, называется основанием треугольника.

BN = hb – высота, опущенная из вершины B на сторону AC = b

В тупоугольном треугольнике две высоты опускаются на продолжение двух сторон, образующих тупой угол, а третья высота лежит внутри треугольника.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром.

F – ортоцентр треугольника ABC

1. 2. Теорема о точке пересечения медиан треугольника.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

BE, AD, CK – медианы,

Доказать: BO:OE = 2 :1

1) Построим четырёх угольник MNDE, где M и N – середины отрезков AO и BO соответственно, тогда MN – средняя линия треугольника ABO. По теореме о средней линии треугольника MN AB и MN = AB в треугольнике ABO.

2) Т. к. точка D – середина стороны BC, а точка E – середина стороны AC, то ED – средняя линия треугольника ABC. Значит, по теореме о средней линии треугольника ED AB, ED = AB

3) Из (1) и (2) пунктов следует, что MNED, MN=ED.

Тогда по признаку параллелограмма четырёхугольник MNDE – параллелограмм.

4) MD и NE – диагонали параллелограмма MNDE. По свойству диагоналей параллелограмма NO = OE, а так как BN = NO, то BN = NO = OE.

5) Следовательно, точка O делит медиану BE в отношении BO : OE = 2 : 1.

В таком же отношении эта точка делит медиану AD.

6) Аналогично можно доказать, что в таком же отношении точка O делит медиану CK. При этом CK не может пересечь AD и BE в разных точках, отличных от O, так как тогда на каждой медиане имелись бы две различные точки, делящие её в отношении 2:1, считая от вершины, что невозможно.

3. Формула, выражающая длину медианы треугольника через длины его сторон.

Длину медианы треугольника можно всегда вычислить, если знать длины сторон треугольника, по следующей формуле ma = , где a, b, c – стороны треугольника.

Докажем справедливость этой формулы

1) Продолжим медиану AD на расстояние DE = AD и построим отрезки BE = EC. В полученном четырёхугольнике ABEC точка D – точка пересечения диагоналей, а так как она делит BC и AE пополам, то ABEC – параллелограмм (по признаку параллелограмма)

2) Теперь используем теорему о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторону

AE2 + BC2 = 2AC2 + 2AB2

(2AD)2 = 2AC2 + 2AB2 – BC2

4AD2 = 2AC2 + 2AB2 – BC2

Значит, данная формула справедлива.

Что и требовалось доказать.

1. 4. Свойство медианы, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

Дано: ∆ABC – прямоугольный, с

Доказать: СМ = AB

1) Пусть CM – медиана прямоугольного треугольника ABC. Достроим треугольник до параллелограмма ACBD.

2) ACBD – прямоугольник, поскольку треугольник ACB – прямоугольный. Следовательно, по свойству диагоналей прямоугольника, AB = CD = 2CM, а значит СМ = AB

Что и требовалось доказать.

1. 5. Свойство биссектрисы треугольника.

Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим его сторонам.

AD – биссектриса угла A

1) Продолжим биссектрису AD до пересечения в точке E с прямой CE AB.

Имеем α = β (1) (по условию, так как AD – биссектриса) и α = γ (2) (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CE и секущей AE).

Из равенств (1) и (2) имеем, что β = γ.

2) Следовательно, ∆ ACE – равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника). Тогда CE = AC = b. ∆ CED подобен ∆ BAD (по двум углам: ADB = EDC (как вертикальные) и ABC = ECB (внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CE и секущей ВС)).

3) Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон

= , а так как AC = CE, то

Что и требовалось доказать.

1. 6. Формулы, выражающие длину биссектрисы треугольника через длины его сторон.

Длину биссектрисы треугольника можно найти по формуле βс = , где a, b – длины двух сторон треугольника ABC, a1, b1 – отрезки третьей стороны. Докажем это.

CD = βс - биссектриса угла С

Применив теорему косинусов к треугольникам с равными углами BCD и ACD, составим уравнение

, откуда b(βс2 + a2 – a12) = a(βс2 + b2 – b12) или

βс2(b – a) – ab(b – a) = (a1b)a1 – (ab1)b1.

Используя равенство ab1=a1b (так как биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам), получаем

(b – a) - ab) = ab1a1 – a1bb1 или

(b – a)( - ab) = - a1b1 (b – a).

Полагая, что b≠a, разделим обе части последнего равенства на (b – a), откуда получим

Значит, доказываемая формула верна.

Что и требовалось доказать.

Длину биссектрисы треугольника можно найти, если знать стороны треугольника по формуле

Дано: ∆ ABC a, b, с – стороны треугольника,

βс - биссектриса угла С

Запишем формулу = ab – a1b1 в виде = ab – a1(c – a1). Используя теорему о том, что биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, получим

, ac – aa1 = ba1; ac = a1(b + a);

Что и требовалось доказать.

в) Длину биссектрисы можно найти, зная две стороны треугольника и угол между ними по формуле βс = , где a и b – стороны треугольника, γ - угол между ними.

CC1 = βс – биссектриса угла С

Пусть СС1 = βс – биссектриса угла С треугольника ABC, BC = a, AC = b, γ. Тогда , или

Что и требовалось доказать.

1. 7. Теорема о точке пересечения биссектрис треугольника.

Если O – точка пересечения биссектрис треугольника ABC, отрезок AA1 – биссектриса угла A, то выполняется равенство

AA1 – биссектриса угла A,

BB1 – биссектриса угла B,

Доказать: AO:OA1 = (b+c):a

1) Рассмотрим треугольник АВС.

По свойству биссектрисы угла имеем

BA1b = ca – BA1· с,

2) Рассмотрим треугольник ABA1.

Отрезок BO – биссектриса угла B, поэтому , и тогда получим

Что и требовалось доказать.

1. 8. Теорема о точке пересечения высот в остроугольном треугольнике.

Точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC делит его высоту BB1 на отрезки, отношение которых, считая от вершины, равно.

Дано: ∆ ABC – остроугольный,

O – точка пересечения высот треугольника,

1) BB1 и CC1 – высоты, которые пересекаются в точке O.

Из прямоугольного треугольника C1BO найдём

2) Из прямоугольного треугольника C1BC найдём

3) Из двух выведенных соотношений и из теоремы синусов следует, что

4) Теперь найдём отношение BO к OB1

Значит, доказываемое отношение справедливо.

Замечание. Если один из углов треугольника тупой, то в равенстве (1) косинус нужно взять по модулю, поскольку отношение BO к OB1 должно быть выражено в положительных числах.

1. 9. Формула, выражающая длину высоты треугольника через длины его сторон

Высоту треугольника можно найти, если знать длины его сторон, по следующей формуле.

Докажем её справедливость.

Дано: ∆ ABC, a, b , с – стороны треугольника, ha – высота, опущенная на сторону a

Зная длины сторон треугольника, найдём площадь ∆ ABC по формуле Герона

Ещё площадь треугольника можно найти по формуле

Следовательно, доказываемая формула верна.

Что и требовалось доказать.

1. 10. Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра.

Из треугольника BC1C имеем:

, тогда по теореме синусов

(2). Подставим (1) в (2), получим , тогда.

Подставляя значение b в равенство (*), получим

Что и требовалось доказать.

1. 11. Расстояние от вершины треугольника до ицентра.

Из теоремы о точке пересечения биссектрис следует, что

Так как , то , где.

Отсюда можно доказать, что.

Возведём обе части равенства в квадрат, получим так как , , отсюда.

Что и требовалось доказать.

Примеры применения свойств замечательных линий и точек треугольника.

Чтобы понять целесообразность данной работы, рассмотрим для сравнения решения нескольких задач традиционным способом, который используется в школьном курсе и с помощью формул, выведенных в главе I.

Вернёмся к задаче, решение которой приведено во Введении.

Дано: ∆ABC – равносторонний,

AB = BC = AC = 6 см.

1) Поскольку равносторонний треугольник является равнобедренным, то по свойству биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника AE и BD – медианы.

2) По теореме о точке пересечения медиан треугольника.

3) Т. к. BD – медиана, т. е. AD = DC = 3 (см. ), то по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BDC (, поскольку BD – высота) имеем:

4) Пусть OD = x (см. ), тогда OB = 2x (см. ). Известно, что OD + OB = (см. ), т. е.

Значит, OD =(см. ), OB = 2·(см. ).

Обратимся к одной из задач, предложенных в примерных вопросах к итоговой аттестации по геометрии за курс основной школы. («Вестник образования» №6 2007 г. )

Стороны треугольника равны 4 см. , 5 см. и 8 см. Найдите длину медианы, проведённой из вершины большего угла.

AB = 4 см. , BC = 5 см.

1) По определению медианы AD = CD = = 4 см.

2) Из ∆ABC по теореме косинусов имеем:

25 = 16 + 64 – 2 · 4 · 8 · cos , откуда.

3) Также из ∆ABD по теореме косинусов

Воспользуемся формулой, доказанной в пункте 1. 3 I главы:

Начав с хорошо известных элементарных утверждений, я выявил ряд простых, но важных фактов, которые позволяют решить многие задачи школьного курса более рационально.

Работа написана в соответствии с программой по геометрии для подготовки к ЕГЭ, приведены сведения справочного характера, доказаны теоремы, которые не рассматриваются в школьном курсе, даны примеры, подтверждающие целесообразность их применения.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎