ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид , где

Мгновенная скорость относительно оси х есть первая производная от координаты по времени:

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

В момент времени

Задача №2

Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где А=10 рад, В=20 рад/с, С=-2 рад/с 2 . Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r=0,1 м от оси вращения, для момента времени t=4c.

Дано:

_________________________

Найти: а

Р е ш е н и е:

Полное ускорение а точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (рис.1):

Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения

Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами

где -модуль угловой скорости тела; -модуль его углового ускорения.

Подставляя выражения и в формулу (1), находим

Угловую скорость найдем, взяв первую производную угла поворота по времени:

В момент времени модуль угловой скорости

рад/с =4 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

Подставляя значения и r в формулу (2), получаем

м/с 2 =1,65 м/с 2 .

Задача №3

При выстреле из пружинного пистолета вертикально вверх пуля массой m=20г поднялась на высоту h=5м. Определить жесткость k пружины пистолета, если она была сжата на х=10 см. Массой пружины и силами трения пренебречь.

Дано:

m=20г=2х10 -2 кг

Найти: k

Р е ш е н и е:

Рассмотрим систему пружина-пуля. Так как на тела системы действуют только консервативные силы, то для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно ему полная механическая энергия Е1 системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии Е2 в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т.е.

где и -кинетические и потенциальные энергии системы в начальном и конечном состояниях.

Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном состояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид:

Примем потенциальную энергию пули в поле сил тяготения земли, когда пуля покоится на сжатой пружине, равной нулю. А высоту подъема пули будем отсчитывать от торца сжатой пружины. Тогда энергия системы в начальном состоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины, т.е. , а в конечном состоянии - потенциальной энергии пули на высоте h, т.е. .

Подставив выражения и в формулу (2). Найдем , откуда

Подставим в формулу (3) значения величин и произведем вычисления:

Задача №4

Шар массой , движущейся горизонтально с некоторой скоростью , столкнулся с неподвижным шаром массой . Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Дано:

Найти: = /

Р е ш е н и е.

Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

где -кинетическая энергия первого шара до удара; и -скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из формулы (1), для определения надо найти . Согласно условию задачи, импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Пользуясь этим, найдем:

Решим совместно уравнения (2) и (3):

Подставив это выражение в формулу (1) и сократив на и , получим

Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.

Задача №5

Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m=80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m1=100 г и m2=200 г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь.

Дано:

m=80 г = 8х10 -2 кг

m2=200 г = 0,2 кг

Найти: а

Р е ш е н и е.

Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Направим х вертикально вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза

для второго груза

Под действием моментов сил и относительно оси z, перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение . Согласно основному уравнению динамики вращательного движения

где -момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z.

Согласно третьему закону Ньютона, с учётом невесомости нити Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (3) вместо и выражения и , получив их предварительно из уравнений (1) и (2):

После сокращения на r и перегруппировки членов найдем

Формула (4) позволяет массы m1 и m2 и m выразить в граммах, как они даны в условии задачи, а ускорение – в единицах СИ. После подстановки числовых значений в формулу (4) получим

Задача №6

Платформа в виде сплошного диска радиусом м и массой кг вращается около вертикальной оси с частотой . В центре платформы стоит человек массой . Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Дано:

Найти:

Р е ш е н и е.

Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция момента импульса системы платформа-человек остается постоянной:

где -момент инерции платформы с человеком относительно оси ; -угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии , а в конечном состоянии .

С учетом это равенств (1) примет вид

где значения моментов инерции и платформы и человека соответственно относятся к начальному состоянию системы; и - к конечному.

Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека не изменяется: Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции

в начальном состоянии (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека

Подставив в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком и конечной угловой скорости , где -скорость человека относительно пола):

После сокращения на и простых преобразований находим скорость:

Задача №7

Точка совершает гармонические колебания с частотой В момент, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение: . Написать уравнение колебаний точки.

Дано:

Найти: х

Р е ш е н и е.

Уравнение колебаний точки можно записать в виде

где А-амплитуда колебаний; -циклическая частота; t-время; -начальная фаза.

По определению, амплитуда колебаний

Циклическая частота связана с частотой соотношением

Для момента времени формула (1) примет вид

откуда начальная фаза

Изменение фазы на 2 не изменяет состояния колеблющейся точки, поэтому можно принять

С учетом равенств (2)-(4) уравнение колебаний примет вид:

Задача №8

В лабораторном помещении, находящемся в здании птичника, уровень интенсивности шума достигал 80 дБ. С целью уменьшения шума было решено обить стены лаборатории звукопоглощающим материалом, уменьшающим интенсивность звука в 1500 раз. Какой уровень интенсивности шума станет после этого в лаборатории?