Задачи на отметку «5». 1. К прямой а проведены перпендикулярные прямые АС и ВD, причём АС = ВD

2. По одну сторону от прямой АВ отмечены точки С и D так, что угол САВ равен углу DВА и DВ = СА. Докажите равенство треугольников АDВ и ВСА.

3. Точки D и D1 являются серединами В В1

соответствующих сторон равных

4. Треугольник TSR – равнобедренный с основанием ТR.

а) Докажите, что угол SТР равен уголу RQ;

б) Определите градусную меру угла SТР, если угол SRТ = 46 0 ;

в) Определите градусную меру углов SТR и SRТ, если угол SRQ = 134 0 .

5. Треугольники АВD и DВС – равнобедренные D

с равными основаниями АD и СD. Докажите, что:

б) медианы ВМ и ВК этих треугольников равны.

6. Внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием АС отмечена точка О так, что АО = ВО = СО. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке D. а) Докажите, что отрезок ВD является медианой, биссектрисой и высотой данного треугольника. б) Определите угол ВАО и угол ВСО, если угол АВС = 80 0 .

7. Даны две окружности с общим центром в точке О, АС и ВD – диаметры этих окружностей. Докажите, что треугольники АВО и СDО равны.

8. Отрезки АВ и СD являются диаметрами

О окружности с центром в точке О. В С

Докажите, что хорды АС и В D равны. А

9. В треугольнике АВС угол А = 38 0 , угол В = 110 0 , D

угол С = 32 0 . На стороне АС отмечены точки D и Е так,

что точка D лежит на отрезке АЕ, ВD = DА, ВЕ = ЕС. М

Найдите угол DВЕ. В F

10. На рисунке АМ = МС, АЕ = DС, угол ВDА равен углу FЕС.

Докажите, что АВ = FС. А D E С

Вопросы к зачету №3.

1.Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными?

2.Что такое секущая? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

3.Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

4.Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые па­раллельны.

5.Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

6.Расскажите о практических способах проведения па­раллельных прямых.

7.Объясните, какие утверждения называются аксиома­ми. Приведите примеры аксиом.

8.Докажите, что через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной.

9.Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

10.Какое утверждение называется следствием? Докажи­те, что прямая, пересекающая одну из двух парал­лельных прямых, пересекает и другую.

11.Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

12.Какая теорема называется обратной данной теореме?

Приведите примеры теорем, обратных данным.

13.Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.

14.Докажите, что если прямая перпендикулярна к од­ной из двух параллельных прямых, то она перпенди­кулярна и к другой.

15.Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей: а) соответственные углы равны; б) сумма односторонних углов равна 180°.

Вопросы к зачету № 4

1.Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника.

2.Какой угол называется внешним углом треугольни­ка? Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

3.Докажите, что в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

4.Какой треугольник называют остроугольным? Какой треугольник называется тупоугольным?

5.Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника?

6.Докажите, что в треугольнике:

1)против большей стороны лежит больший угол;

2)обратно, против большего угла лежит большая сто­рона

7. Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипо­тенуза больше катета.

8. Докажите, что если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

9.Докажите, что каждая сторона треугольника мень­ше суммы двух других сторон. Что такое неравенство треугольника?

10.Докажите, что сумма двух острых углов прямоуголь­ного треугольника равна 90°.

11.Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипоте­нузы. Сформулируйте и докажите обратное утверж­дение.

12.Сформулируйте и докажите признак равенства ·пря­моугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.

13.Сформулируйте и докажите признак равенства пря­моугольных треугольников по гипотенузе и катету.

14.Объясните, какой отрезок называется наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой.

15.Докажите, что перпендикуляр, проведенный из точ­ки к прямой, меньше любой наклонной, проведен­ной из этой же точки к этой прямой.

16.Что называется расстоянием от точки до прямой?

17.Докажите, что все точки каждой из двух параллель­ных прямых равноудалены от другой прямой.

18.Что называется расстоянием между двумя парал­лельными прямыми?

19. Объясните, как построить треугольник:

а) по двум сторонам и углу между ними;

б) по стороне и двум прилежащим к ней углам.

20.Объясните, как построить треугольник по трем сто­ронам. Всегда ли эта задача имеет решение?

Задачи на отметку «5»

1 .Треугольник АВС- равнобедренный с основанием АВ. Биссектрисы углов при основании пересекаются в точке Д. ^ АДВ равен 100 .Найти:/.С.

2.Один из углов треугольника равен сумме двух других. Доказать, что данный треугольник- прямоугольный.

З.В треугольнике АВС угол С равен 90 , угол В равен 35 ,СД-высота. Найти: углы треугольника АСД.

4.Найти углы треугольника АВС, если угол А на 60 меньше угла В и в 2 раза меньше угла С.

5.В треугольнике АВС угол С равен 90', угол В равен 70 . На катете АС отложен отрезок СД, равный СВ. Найти: углы треугольника АВД.

б.Угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины наибольшего угла прямоугольного треугольника, равен 14°. Найти: острые углы данного треугольника.

7.Доказать, что основание равнобедренного треугольника параллельно биссектрисе одного из внешних углов.

8.Доказать, что если биссектрисы двух углов треугольника образуют при пересечении угол 135 , то этот треугольник- прямоугольный.

9.В прямоугольном треугольнике АВС ( угол С прямой) проведена высота С Д. Гипотенуза равна 12см, а угол СВА равен 30\

10.В равнобедренном треугольнике АВС (АВ равно ВС) от вершин при основании отложены равные отрезки АД равно СЕ. Определить углы треугольника ДБЕ, если угол ВЕС равен ПО.