1.6. Случайные величины и функции распределения

Понятие случайной величины является одним из основных понятий теории вероятностей. Под данным термином подразумевается величина, значения которой зависят от случая и для которой определена функция распределения вероятностей. Функцией распределения вероятностей случайной величины ξ называется вероятность того, что ξ примет значение, меньшее, чем произвольное число х:

Случайные величины принято обозначать греческими буквами, а принимаемые ими значения – строчными латинскими [23]. В зависимости от характера принимаемых значений различают 2 основных класса случайных величин: дискретные и непрерывные.

Дискретные случайные величины могут принимать только конечное или счетное множество значений. Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.

Пусть ξ – дискретная случайная величина, единственно возможными значениями которой являются числа x1,x2. xn. Обозначим через

вероятности этих значений. Тогда закон распределения случайной величины ξ задает таблица

ξ x1 x2 … xn p p1 p2 … pn

Непрерывной называется случайная величина, все возможные значения которой целиком заполняют некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой оси. Для любой непрерывной случайной величины существует неотрицательная функция f(x), при любых х удовлетворяющая равенству: $F(x) = \int\limits_< - \infty >^x $.

Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Плотность распределения вероятностей обладает следующими свойствами: 1. f(x)≥0. 2. При любых x1 и x2 удовлетворяет равенству $P\left\ < \right\> = \int\limits_^ $.

3. ∫f(x)dx = 1. F(x) является первообразной функцией для функции f(x):

поэтому функцию F(x) называют также интегральным, а плотность вероятностей f(x) - дифференциальным законом распределения случайной величины ξ. Функция распределения имеет также смысл для дискретных случайных величин.

В теории вероятностей в отношении непрерывных случайных величин доказана следующая важная теорема [27].

Теорема. Вероятность (до опыта) того, что непрерывная случайная величина ξ примет заранее указанное строго определенное значение а, равна нулю.

Рассмотрим теперь вероятностное пространство , на котором определены n случайных величин

Тогда вектор (ξ1,ξ2. ξn) называется случайным вектором или n-мерной случайной величиной.

Обозначим через множество тех элементарных событий ω, для которых одновременно выполняются неравенства

Это событие принадлежит множеству Θ, т.е.

Таким образом, при любом наборе чисел определена вероятность

Функция F(x1,x2. xn) от n аргументов называется n-мерной функцией распределения случайного вектора (ξ1,ξ2. ξn).

Геометрическая интерпретация рассматривает вектор (ξ1,ξ2. ξn) как координаты точки n-мерного евклидова пространства. Функция F(x1,x2. xn) при такой интерпретации дает вероятность попадания точки (ξ1,ξ2. ξn) в n-мерный параллелепипед ξ11,ξ22. ξnn с ребрами, параллельными осям координат.

Функция распределения, указывая на то, какие значения может принимать случайная величина и с какими вероятностями, представляет собой наиболее полную характеристику последней. Однако общую количественную характеристику о случайной величине могут дать некоторые постоянные числа, получаемые по определенным правилам из функций распределения. К числу этих постоянных относятся математическое ожидание и дисперсия.

Для произвольной случайной величины ξ с функций распределения f(x) математическим ожиданием называется интеграл

Для непрерывных случайных величин, распределенных по нормальному закону, математическое ожидание равно генеральному среднему, а его наилучшей точечной оценкой является выборочное среднее. Наилучшей точечной оценкой асимметрично распределенных непрерывных случайных величин является медиана.

Дисперсией случайной величины ξ называется математическое ожидание квадрата уклонения ξ от Mξ:

Dξ = M(ξ - Mξ) 2 .

Таким образом, математическое ожидание представляет собой характеристику центральной тенденции (типичного значения) случайной величины, а дисперсия – меры ее рассеяния.

В заключение следует также охарактеризовать независимые и зависимые случайные величины. Две случайные величины считаются независимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой. В противном случае случайные величины называются зависимыми. Несколько случайных величин являются взаимно независимыми, если возможные значения и законы распределения любой из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.