Математика. Сборник задач профильной направленности. М. И. башмаков

1 Начальное и среднее профессиональное образование М. И. башмаков Математика Сборник задач профильной направленности Рекомендовано Федеральным государственным автономным учреждением «Федеральный институт развития образования» (ФГАУ «ФИРО») в качестве учебного пособия для использования в учебном процессе образовательных учреждений, реализующих программы начального и среднего профессионального образования Регистрационный номер рецензии 434 от 12 декабря 2011 г. ФГАУ «ФИРО» 2-е издание, исправленное Москва Издательский центр «Академия» 2013

2 УДК 51(075.32) ББК 22.1я722 Б 336 Р е ц е н з е н т ы: преподаватель математики ГОУ СПО «Колледж автоматизации и информационных технологий 20» Т. Г. Кононенко; преподаватель математики ГОУ СПО «Финансовый колледж 35», канд. экон. наук Н. А. Косянкова; методист, преподаватель математики высшей квалификационной категории ГОУ СПО «Библиотечный колледж 58» Н. В. Пименова; методист Учебно-методического центра О. М. Шведова Б 336 Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности : учеб. пособие для учреждений нач. и сред. проф. образования / М. И. Башмаков. 2-е изд., испр. М. : Издательский центр «Академия», с. ISBN В пособии приведены задачи профильной направленности по математике. Прикладной характер задач обеспечен выбором небольшого числа наиболее значимых профессиональных ситуаций, для которых предлагается строить стандартные математические модели и проводить их исследование в рамках требований Государственного стандарта. В основе выбора моделей лежит анализ стилевых характеристик, свойственных различным приложениям математики. Вместе с учебником «Математика» М. И. Башмакова, учебным пособием «Математика. Задачник» М.И.Башмакова и «Математика. Книга для преподавателя» М.И.Башмакова составляют учеб нометодический комплект. Для обучающихся в учреждениях начального и среднего профессионального образования. УДК 51(075.32) ББК 22.1я722 Оригинал-макет данного издания является собственностью Издательского центра «Академия», и его воспроизведение любым способом без согласия правообладателя запрещается Башмаков М. И., 2012 Образовательно-издательский центр «Академия», 2012 ISBN Оформление. Издательский центр «Академия», 2012

3 Предисловие «Что такое математика?» этот вопрос стоит в названии книги известного немецкого математика Рихарда Куранта. Данная книга адресована школьникам и несколько раз издавалась на русском языке. Косвенный ответ на поставленный вопрос содержится в другой знаменитой книге «Числа и фигуры» немецких математиков Радемахера и Теплица. Учебно-методический комплект «Математика», «Математика. Задачник для базового уровня» и «Математика. Сборник задач профильной направленности» для обучающихся в учреждениях начального и среднего профессионального образования строится вокруг фундаментальных вопросов что? как? зачем и почему? Если на вопрос что? отвечает, прежде всего, учебник математики, на вопрос как? общий задачник, содержащий набор упражнений и задач, помогающих усвоить смысл основных математических понятий, то данный сборник задач профильной направленности помогает ответить на вопрос зачем? «Нам не дано предугадать, как слово наше отзовется» эти слова Федора Тютчева настраивают на мысль о том, что любому из нас трудно себе представить, какую роль сыграют математические знания в дальнейшей работе и жизни. Опыт свидетельствует о том, что научиться конкретным применениям математики, которые встречаются в профессиональной жизни, достаточно просто. Если ясно, что и как нужно применять, то несложно найти современные пути овладения математической техникой. Для этого необходимо заранее позаботиться о том, чтобы быть готовым к осознанию и восприятию тех целей, того «технического задания», которые поставит профессия и жизнь, а именно: ознакомиться с прикладными возможностями основных математических понятий: овладеть навыками работы в «стандартных» прикладных ситуациях; приобрести опыт длительной «проектной» работы по построению и использованию математических моделей. Предлагаемый сборник задач дает материал по каждому из указанных направлений и состоит из двух частей. Часть I со- 4

4 держит задачи и упражнения прикладного характера по каждой из 12 глав учебника «Математика» М. И. Башмакова. Следует иметь в виду, что прикладная направленность этих задач состоит не в насыщении формулировок «производственным содержанием», а в выделении важнейших стилевых особенностей, которые встречаются в приложениях. Иногда эти приложения становятся просто внутриматематическими, например геометрия, которая испокон веков стоит ближе всего к применениям математики, требует переноса знаний из других разделов математики. Процесс этого переноса является важнейшим элементом подготовки к использованию математики, и получить такой опыт разумнее всего, оставаясь на первых порах внутри самой математики. Часть II более сложна и включает ситуации и сюжеты, в исследовании которых открывается широкое поле деятельности перевод ситуации на математический язык, постановка математической задачи, нахождение подходов к ее решению, обсуждение результатов и т. п. Такой путь овладения приложениями математики наиболее эффективен, однако имеет определенные трудности, связанные, прежде всего, с выбором сюжета. Ситуации, которые можно назвать прикладными, профессиональными, производственными, требуют для своего описания информацию, находящуюся вне математики. Нецелесообразно (и трудно как для преподавателя, так и для обучающегося) включать специальные сюжеты, не знакомые в деталях каждому человеку. Традиционная математика использует несколько прикладных сюжетов, которые уже считаются частью самой математики и не требуют дополнительной работы по их осмыслению. К числу таких сюжетов можно отнести задачи на равномерное движение, сложение движений и их скоростей, задачи на производительность труда и проценты. В то же время изменение условий жизни требует включения в корпус математики ряда новых ситуаций. Это относится, прежде всего, к вопросам финансов и экономики, окружающей среды, использованию информационной техники. Такая работа требует времени и накопления опыта. Представленные в сборнике задач сюжеты не обязательно должны быть использованы и включены в календарный план. Выбор сюжета и объем работы с ним должны определяться профессиональной направленностью образовательного учреждения. Некоторые сюжеты могут потребовать дополнительной информации, которая может быть найдена с помощью современных средств, и умение искать эту информацию также важная учебная задача.

5 ЧАСТЬ I Прикладные задачи по главам курса Глава 1 Развитие понятия о числе Основные направления приложений: Пропорции Проценты Округление чисел Оценки и погрешности Приближенные вычисления Пропорции 1. Известно, что пропорция a : b = x : y верна при определенных a, b, x и y. Будет ли при этих же значениях a, b, x и y верна пропорция b : a = y : x? 2. Участок земли площадью 2 га поделен на части в пропорции 2 : 3. Укажите площади участков. 3. Один рабочий выполняет некоторую работу за m дней, другой ту же работу может выполнить за n дней. За сколько дней будет выполнена работа при совместной работе обоих рабочих? 4. Если печенье из большой коробки разложить в пакеты по 0,4 кг, то получится 50 пакетов. Сколько пакетов по 0,25 кг можно заполнить этим печеньем? 5. Задача Беруни. Если 10 дирхемов (ден. ед.) приносят доход 5 дирхемов за два месяца, какой доход принесут 8 дирхемов за три месяца? 6. Новое серебро (альпака) это сплав никеля, цинка и меди в отношении 3 : 4 : 13. Сколько килограммов каждого металла нужно взять, чтобы получить 4 кг нового серебра? 7. На пиратском рынке бочка рома стоит 800 дублонов (ден. ед.), или 100 пиастров, а пистолет стоит 100 дублонов, или 250 дукатов. Сколько пиастров нужно заплатить за попугая, за которого просят 100 дукатов? 6

6 8. Прямоугольный кусок волшебной кожи («шагреневая кожа») исполняет любые желания своего владельца, но после каждого исполнения желания он уменьшается на половину своей длины и на одну треть ширины. После исполнения пяти желаний он имел площадь 12 см 2 Рис. 1, а после исполнения двух желаний его ширина была 9 см. Какой была длина куска волшебной кожи после исполнения первого желания? 9. Отец старше сына на 28 лет. Сейчас сыну 20 лет. Используя указанные данные, ответьте на следующие вопросы: а) каково отношение их возрастов; б) каким оно было 10 лет назад; в) каким оно будет через 12 лет; г) как меняется это отношение с возрастом? 10. Брусок изготовлен из сплава трех металлов свинца, олова и железа (рис. 1). Масса бруска 700 г. Найдите массу каждого металла в бруске, имея следующие данные: а) отношение масс металлов 2 : 3 : 5; б) отношение масс свинца и олова 3 : 5, а железа в бруске вдвое больше (по массе), чем свинца и олова вместе; в) олова вдвое больше, чем свинца, а олова вместе с железом вдвое больше, чем свинца с оловом. 11. За 7 ч работы токарь должен был по норме изготовить некоторое количество деталей. Применив изобретенный им новый резец, он стал за 1 ч изготовлять на 8 деталей больше, чем полагалось по норме, а потому за 6 ч работы выполнил 1,2 дневной нормы. Найдите производительность труда токаря за 1 ч с применением нового резца. 12. По плану токарь должен был ежедневно изготовлять 24 детали. Улучшив технологию производства деталей, он повысил дневную производительность труда на 15 деталей, за 6 дней до срока изготовил сверх плана 21 деталь. Определите, сколько деталей токарь изготовил к этому времени. 13. Два комбайна, работая совместно, убрали участок пшеницы за 16 ч. Если бы первый комбайн убрал 1/4 часть всего участка, Рис. 2 7

7 а второй остальное, то вся работа была бы выполнена за 42 ч. За сколько часов может убрать весь участок каждый комбайн? 14. В кофе с молоком на 180 г напитка приходится 15 г молока, а остальное раствор черного кофе. Сколько нужно взять молока, чтобы оно содержалось в 300 г каши в той же пропорции, что и в кофе? 15. На рис. 2 AC BD; OA = 1,5; AB = 2,5; OC = 1; OA OC =. OB OD Найдите OD. Проценты 16. В один стакан чая обычно кладут 2 чайные ложки сахара и считают такой чай сладким. Масса чая в стакане 200 г, масса сахара в одной чайной ложке 10 г. Какова концентрация сахара в чае? 17. Верно ли, что если сначала увеличить количество на 8 %, а затем полученный результат уменьшить на 8 %, то получится исходное количество? 18. Сторону квадрата увеличили на 20 % (рис. 3). На сколько процентов увеличилась площадь квадрата? Периметр квадрата? 19. Токарь и его ученик должны были за смену изготовлять 130 деталей. Рабочий перевыполнил план на 10 %, а его ученик на 20 %, и они вместе изготовили 148 деталей. Сколько деталей каждый из них должен был изготовлять до повышения производительности труда? 20. На сколько процентов число 32 меньше числа 40? На сколько процентов число 40 больше числа 32? 21. После двукратного повышения цены на 25 % стоимость банки сока составила 57 р. 50 к. Какова была ее исходная цена? 22. На кольцевой линии метро в одном направлении курсируют 24 состава с одинаковой скоростью и равными интервалами (рис. 4). Сколько составов надо добавить, чтобы при той же скорости движения уменьшить интервал на 20 %? 23. Цена на сахар снизилась на 20 %. На сколько процентов больше сахара, чем Рис. 3 раньше, можно купить теперь на 100 р.? 8

8 Рис При покупке товаров на дорожные чеки цена товара снижается на 20 %. Человек купил товар стоимостью 600 р., однако номинал чеков у него составлял лишь 400 р. Сколько пришлось доплатить за сделанную покупку? 25. «Средний размер назначенных пенсий в области равен р. и увеличился за год на 38 %, составив 125 % к величине прожиточного минимума пенсионера (на конец прошлого года 109 %)» (из газет). На сколько процентов больше товаров и услуг можно получить на повышенную пенсию? 26. «За последнюю неделю столичный квадратный метр жилья одновременно подешевел и подорожал. В долларах в среднем подешевел на 1,6 %, в рублях подорожал на 2,8 %» (из газет). Как изменился за это время курс доллара? 27. «Сменная норма у меня 70 банок молока, а я делал 100. И если бы каждый на рабочем месте, вспоминает ветеран, делал на 30 % больше, то коммунизм построили бы» (из газет). Верна ли оценка ветераном своего усердия (т. е. верно ли, что он на 30 % перевыполнял план)? 28. «Налог на прибыль предприятий снизился на 4 %, с нынешних 24 до 20 %» (из газет). Верно ли это утверждение? 29. «Инфляция за последние годы: %, ,9 %, ,3 %» (из газет). На сколько процентов выросли цены за три указанных года? 9

9 30. «Средний размер пенсий увеличился за год на 17 %, а цены поднялись на 12 %» (из газет). На сколько процентов больше товаров и услуг можно получить на повышенную пенсию? 31. «С 1 января на треть вырастет квартплата. В частности, электричество подорожает на 27 %, газ на 22,7 %, отопление на 29,5 %, канализация на 22,6 %» (из газет). Кроме этих услуг есть и прочие услуги, которые также подорожают. Оцените в процентах подорожание прочих услуг. Округление чисел 32. Запишите следующие числа в виде периодических десятичных дробей и округлите их с точностью до 0,001: 1) 7 25 ; 2) 1 3 ; 3) 2 7 ; 4) 5 6 ; 5) 8 41 ; 6) Представьте данные числа x в виде десятичных дробей с указанной точностью округления h: 1) x = 137,30849 h = 10; 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 2) x = 3,06527 h = 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 3) x = 0,63009 h = 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 4) x = 2 3 h = 0,1; 0,01; 0,001; 10 5) x = ) x = h = 1; 0,1; 0,01; 0,001; h = 1; 0,1; 0,001; 0, Запишите число x в стандартном виде, округлив его мантиссу до 0,01: 1) x = ; 6) x = 0,030267; 2) x = 0, ; ) x = ; 3) x = ; 3 4) x = 1,01 3 ; 8) x = 3 0, ) x = 600,35; 35. Запишите число в стандартном виде. Укажите его порядок и округлите его мантиссу до тысячных:

10 1) ; 6) 501,6; 11) ; 2) 60,396; 7) ; 12) 0, ; 3) 0,5638; 8) ; 13) 0, ; 4) ; 9) 0, ; 14) 6,0031; 5) 0, ; 10) 139, ; 15) 2 718, Найдите первые 20 цифр после запятой в десятичной записи следующих чисел: 1) 1- ( 0, 1) 20 ; 3) ( 5+ 26) 20 2) ( 5-26) 20 ; 4) ( ) 12. Оценки и погрешности 37. Известны оценки для переменных x и y: 0 < x < 5, 2 < y < 3. Дайте оценки сверху для следующих выражений: 1) 2x + 3y; 2) xy; 3) 3x 2 + 2y 2 ; 4) (x + 2) (y - 1); 5) 1 y ; 6) x y ; 8) x - y; 9) 3x - 2y; 1 10) x + 1 ; 11) y + 2 x + 1 ; 12) 1 x. 7) -y; 38. Используя те же оценки для переменных x и y, что и в предыдущей задаче, дайте оценки снизу для следующих выражений: 1) 5x + 3y; 2) -x; 3) y - x; 4) x 2 - y 2 ; 5) (x 2 + 1) (y 2-1); 6) 3 - y; 7) 1 x ; 8) y x ; 9) x 3 + y 3 ; 2 y 10) x + 1 ; 11) ; x y 12) (x - 1) y. 11

11 39. Расстояние между двумя городами, измеренное по карте, равно (24,6 ± 2,0) см. Определите фактическое расстояние между ними и абсолютную погрешность, если масштаб карты 1 : *. В каких границах лежит третья сторона треугольника, у которого две стороны: а) равны 4 и 5; б) каждая из них лежит в границах от 4 до 5; а в каких границах лежит его площадь? 41. Измерения пола классной комнаты таковы: 8,7 ± 0,05 м и 5,2 ± 0,05 м. В каких границах находится его: а) площадь; б) диагональ? Результат в п. «а» запишите с одним знаком после запятой. 42. Катеты прямоугольного треугольника равны 4 и 5 м. Вычислите его: а) периметр, округлив полученный результат до целого числа метров; б) радиус вписанной окружности, округлив полученный результат до целого числа дециметров. 43. Дан куб с ребром 1 м. С точностью до 1 дм (погрешностью в 1 дм) найдите длину ломаной, идущей по поверхности куба (рис. 5, а е). Рис. 5 12

12 Рис На рис. 6, а д изображены три проекции ломаной, каждое звено которой соединяет две вершины куба с ребром 1 м. Какова длина этой ломаной с точностью до 1 дм? 45. Найдите относительную погрешность (в процентах) следующих вычислений (проценты вычислить с точностью до 0,1): 1) A = 100 ± 1; 2) R = ± 10 (радиус Земли в км); 3) c = 2, < 100 (скорость света в км/с); 4) m = 5, , все цифры верные (масса Земли в кг); 5) d = 1, , все цифры верные (диаметр Солнца в км); 6) l = ± 1 (диаметр Луны в км). 46. В табл. 1 указаны приближенные значения a и точные значения величины x. Вычислите абсолютную (h) и относительную (r) погрешности вычислений, последнюю с четырьмя знаками после запятой. Таблица 1 п/п x a п/п x a ,14 3, , , , ,736 0, ,0083 0,01 13

13 Приближенные вычисления 47. Вычислите с точностью до 0,01 значения выражений x + y, x - y, xy и x для значений x и y, указанных в табл. 2. y 48. Вычислите приближенно значения выражения A = x 2 - xy + + y 2 при указанных значениях x и y (табл. 3). Ответ запишите в стандартном виде, округлив мантиссу до десятых. 49. Средний радиус Земли равен ,673 м (рис. 7). В задачах его часто округляют до км. Какова при этом в процентах точность полученного результата (относительная погрешность)? Таблица 2 x 2,1 6,18 26,4 0,567 1, ,67 y 3,5 2,24 17,3 0,314 6, ,23 Таблица 3 x 6, , , , y 3, , , , Рис. 7 Рис. 8 14

14 50. Скорость света в вакууме равна ,5 ± 0,4 км/с, скорость звука в воздухе составляет 331,63 ± 0,04 м/с. Что измерено с большей точностью (относительной погрешностью)? 51. Для определения длины окружности в столярном деле иногда выполняют следующее. На прямой откладывают три раза по диаметру и еще длину, равную 0,15 диаметра. Определите точность (относительную погрешность) этого измерения. 52. Сторона квадрата равна 2,4 м ± 0,05 м. С какой точностью (относительной погрешностью) можно найти площадь этого квадрата? 53. Сторона квадрата, вписанного в окружность, равна 1 (рис. 8). Приближенные значения для площади круга и длины окружности взяли с двумя знаками после запятой. Какой результат, содержащий две цифры, вы запишите окончательно? Глава 2 Корни, степени и логарифмы Основные направления приложений: Приближенные вычисления Сложные проценты Уравнение показательного роста Сравнение скорости роста Приближенные вычисления 1. Вычислите приближенно значения следующих функций: 1) 104, ; 5) e 0,2 ; 9) ln 1,002; 2) 0992, ; 6) e -0,03 ; 10) ln 0,94; 3) 3 094, ; 7) e 2,04 ; 11) ln(1 + e 0,06 - e -0,02 ); 4) 3 8, 016; 8) 2-3,006 ; 12) log 2 8, Вычислите с одним знаком после запятой значения следующих функций: 1) e 0,1 ; 4) ln 1,1; 7) 2 0,2 ; 2) e -0,2 ; 5) ln 0,8; 8) 10 0,9 ; 3) e 1,2 ; 6) lg 10,1; 9) lg 0,9. 3. Известно много формул для приближенного вычисления числа e. Самыми распространенными являются формулы 15

15 n en = 1+ 1 n, en = , которые при натуральных значениях n дают последовательности приближенных n значений e с любой степенью точности. Выпишем первые члены этих последовательностей: 2 e 1 = (1 + 1) 1 = 2, e = ,, e = = 2, e 2 = e = + = , Проведите вычисления по этим формулам с точностью до 10-4 с помощью микрокалькулятора. Какая из двух формул быстрее дает требуемое приближение? Сложные проценты 4. В городе N в 1990 г. проживало 149 тыс. человек. В связи с демографическим спадом число жителей ежегодно уменьшалось на 1,7 %. Сколько человек проживало в городе в конце 2002 г.? 5. Некто каждый год в один и тот же день вносит в банк 3 тыс. р. под 5 % годовых. Какая сумма будет на счету через 10 лет? 6. Если за год цены выросли в 2 раза, то какова средняя ежемесячная инфляция? 7. Банк выплачивает 10 % годовых от суммы вклада. Какое вложение более выгодно: а) сделать вклад на сумму 10 тыс. р. 1 января и закрыть счет через год; б) сделать вклад на сумму 10 тыс. р. 1 января, снять всю сумму 1 июля и тут же положить ее снова; в) через сколько лет вложенная сумма будет в 1,5 раза больше? 8. В растворе содержится 40 % соли. Если добавить 120 г соли в раствор, то процентное содержание соли станет равным 70 %. Сколько соли было первоначально в растворе? 9. В свежем продукте процентное отношение воды к сухому веществу составляло 70 : 30. При сушке за счет испарения воды масса продукта сократилась на 25 %. В каком процентном отношении стала находиться вода в продукте после сушки? 16